A. Pengertian Diferensial
Suatu persamaan yang
mengandung fungsi atau turunannya dinamakan persamaan diferensial. Jika
mengandung turunan parsial dinamakan persamaan diferensial parsial. Selaij
persamaan diferensial parsial, dikenal persamaan diferensial yang lain
dinamakan persamaan diferensial biasa.
B. Diferensial
Total
Perhatikan fungsi x = x (y, z). Andaikan fungsi ini
benar-benar ada, artinya “x is an existing function of y and z”, maka
nilai x dapat berubah karena y berubah tetapi z tidak, atau z berubah
tetapi y tidak, atau y dan z keduanya berubah. Perubahan-perubahan ini secara
matematis dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial total, diferensial parsial,
diferensial eksak, dan atau diferensial tak eksak.
Diferensial total dari
x adalah dx yang nilainya sama dengan perubahan x karena y berubah ditambah
dengan perubahan x karena z berubah. Secara matematis dapat dinyatakan:
dx = (∂x / ∂y)z dy + (∂x / ∂z)y
dz ……….. (1.3)
Diferensial total x adalah dx yang menggambarkan
perubahan total x. Karena dx merupakan perubahan infinit suatu fungsi yang
benar-benar ada, maka dx disebut diferensial eksak. Jika dx
merupakan diferensial total dari fungsi x = x (y, z) yang benar-benar tidak
ada, maka dx disebut diferensial tak eksak.
Dalam
hal ini (∂x / ∂y)z dy merupakan perubahan x karena y berubah, sedangkan z
tidak berubah dan (∂x / ∂z)y dz merupakan perubahan x karena z
berubah, sedangkan y tidak berubah. Sedangkan (∂x / ∂y)z dinamai
diferensial parsial x ke y dengan z tetap yang biasa ditulis sebagai M (yz) dan
(∂x / ∂z)y
dinamai diferensial parsial x ke z dengan y tetap yang biasa
ditulis sebagai N (yz). Dalam persamaan I.3 dy disebut sebagai perubahan y dan
dz disebut sebagai perubahan z.
C. Syarat Euler dan Dalil Rantai
Telah dijelaskan di atas, bahwa ada fungsi yang
benar-benar ada (existing) dan ada fungsi yang benar-benar tidak ada. Jika
fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar-benar ada dan dapat
didiferensialkan dengan baik (differensiable), maka urutan pendiferensialan
(diferensiasi) tidak menjadi masalah. Artinya,
(∂ 2 x / ∂y ∂z) z,
y = (∂ 2x /∂z ∂y) y, z atau
(∂M
/ ∂z)y = (∂N / ∂y)z . …….. (1.4)
Persamaan I.4 dikenal sebagai syarat Euler. Jadi,
syarat Euler merupakan syarat yang diperlukan untuk membuktikan bahwa fungsi x
= x (y, z) merupakan fungsi yang benar-benar ada. Dapat pula dinyatakan,
diferensial total suatu fungsi yang benar-benar ada (yang memenuhi syarat
Euler) adalah diferensial eksak.
Jika fungsi x = x (y, z), maka dx = (∂x / ∂y)z
dy + (∂x / ∂z)y dz. Fungsi ini dapat dilihat sebagai fungsi y = y (x,
z) dengan dy = (∂y / ∂x)z dx + (∂y / ∂z)x dz. Jika dy
disubstitusikan ke dx di atas diperoleh:
dx
= (∂x / ∂y)z {(∂y / ∂x)z dx + (∂y / ∂z)x dz} +
(∂x / ∂z)y dz atau
dx = {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂x)z
} dx + {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂z)x + (∂x / ∂z)y }
dz yang berlaku untuk setiap dx dan dz. Hal ini
terpenuhi jika
1. {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂x)z
} = 1 atau (∂x / ∂y)z = {1 /
(∂y / ∂x)z } ….. (1.5)
2. {(∂x / ∂y)z (∂y / ∂z)x
+ (∂x / ∂z)y } = 0 atau
{(∂x
/ ∂y)z (∂y / ∂z)x
(∂z / ∂x)y} = -1
……………… (1.6)
Persamaan
I.6 dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai atau “chine rule”.
Dalam Termodinamika konsep diferensial total, diferensial
parsial, diferensial eksak, dan diferensial tak eksak sangat diperlukan.
Pemaknaan dari keempat bentuk diferensial ini sangat bergantung pada keaadaan
sistem, koordinat sistem, atau variabel sistem termodinamis. Oleh karena itu,
Mahasiswa harus faham benar mengenai pengertian-pengertian dan pemaknaan
diferensial dalam Termodinamika.